Điều khiển tối ưu

[HaiAu2005]

Sách về điều khiển tối ưu có khá nhiều. Tôi xin giới thiệu một số tài liệu về Điều khiển tối ưu mà tôi biết:

Nguyễn Thương Ngô (1999), Lý thuyết điều khiển tự động hiện đại, Điều khiển tối ưu và điều khiển thích nghi, NXB KH&KT, Hà Nội, VN.

Theo giới thiệu trong các tập 1, 2, 3 của t/g Nguyễn Thương Ngô, cuốn sau sẽ viết về điều khiển tối ưu: Nguyễn Thương Ngô (2006??), Lý Thuyết Điều Khiển Tự Động Thông Thường Và Hiện Đại - Quyển 4: (ĐK tối ưu).

Nguyễn Doãn Phước (2005), Lý thuyết điều khiển nâng cao - Điều khiển tối ưu - Điều khiển bền vững - Điều khiển thích nghi, NXB KH&KT, Hà Nội, VN.

Bagchi, A. (1993), Optimal Control of Stochastic Systems, Prentice Hall International (UK) Limited, Hertfordshire, UK.

Bryson, Jr. A.E. (1999), Dynamic Optimization, Addison-Wesley Longman Inc., Menlo Park, California, USA.

Bryson, A.E. and Ho, Jr. Y.C. (1975), Applied Optimal Control, Optimization, Estimation and Control, Revised Printing, Hemisphere Publishing Company, USA.

Ogata, K. (2002), Modern Control Engineering, 4th Ed., Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River, NJ, USA. (Chương cuối có giới thiệu Điều khiển tối ưu bình phương tuyến tính - Linear quadratic optimal control).

Stengel, R.F. (1994), Optimal Control and Estimation, Dover Publications Inc., NY, USA.


----

Điều khiển tối ưu là gì? Nói nôm na điều khiển tối ưu là thuật toán điều khiển tính toán khuếch đại điều khiển phản hồi trạng thái (state feedback control gain) theo phương pháp tối ưu hóa (cựa tiểu hóa hoặc cực đại hóa) một hàm đánh giá (cost function)!

Trong MATLAB, nếu có Control System Toolbox có thể sử dụng hàm lqr (linear quadratic regulator) để giải bài toán điều khiển điều khiển tối ưu.

Chương trình mẫu thiết kế hệ máy lái tự động tàu thủy (ship's autopilot) đơn giản dùng điều khiển tối ưu:

Mô hình tàu (Nomoto's first order model):




trong đó T, K là chỉ số điều động tàu (hằng số, T = 7.5 sec, K = 0.11), r là tốc độ quay trở của tàu (yaw rate or turning rate, rad/sec), delta là góc bánh lái (rudder angle, rad), và psi là hướng mũi tàu (heading angle, hoặc yaw angle, rad). Viết lại phương trình này dưới dạng mô hình không gian trạng thái như sau:




trong đó:
là véc tơ trạng thái:

u là tín hiệu điều khiển (góc bánh lái):

y là tín hiệu ra (hướng mũi tàu):

A, B, C, D là các ma trận tham số của mô hình không gian trạng thái (bạn đọc tự tính các ma trận này giùm).

Hàm đánh giá (thuật toán tối ưu bình phương tuyến tính, dạng đơn giản nhất):



trong đó x véc tơ trạng thái, u là véc tơ tín hiệu điều khiển, Q và R là các ma trận tham số thiết kế điều khiển (còn gọi là weighting matrices, tính chất của hai ma trận này như sau: Q is a positive-definite (or positive-semidefinite) Hermitian or real symmetric matrix and R is a positive-definite Hermitian or real symmetric matrix).

Khuếch đại điều khiển hồi tiếp K được tính bằng cách tối ưu hóa hàm đánh giá J ở trên (công thức diễn giải việc tối ưu hóa để tính K không đơn giản!, tôi chỉ xin trình bày sơ lược và đưa phần ứng dụng Control System Toolbox của MATLAB để minh họa thuật toán). Cuối cùng tín hiệu điều khiển được tính:



Sample MATLAB Codes :

% OptimalAutopilot.m
%
 
clear
 
T = 7.5;
K = 0.11;
 
A = [0 1;0 -1/T];
B = [0 K/T]';
Q = [10000 0;0 100]; R = 0.0001;
C = [1 0]; D = 0;
 
KK = lqr(A,B,Q,R); % tính khuếch đại điều khiển hồi tiếp (feedback control gains)
 
AA = A-B*KK;BB=B*KK(1);CC = C;DD=D;
 
Nomoto = ss(AA,BB,CC,DD);
 
[y,t] = step(Nomoto,10);
 
plot(t,y*180/pi);grid
title('Ship's heading');
xlabel('Time (sec)');
ylabel('Heading (deg)');
 
% End of program

----

Xem kết quả trong file gửi kèm.

Các thuật toán điều khiển tối ưu (hàm đánh giá khác nhau có các thuật toán điều khiển tối ưu khác nhau) được ứng dụng trong nhiều thiết bị điều khiển ngày nay. Hệ tuyến tính có các tham số không đổi (time-invariant parameters) có thể thay bằng hệ tuyến tính hoặc hệ phi tuyến có các tham số biến đổi theo thời gian (time-varying parameters). Thuật toán điều khiển tối ưu thường được kết hợp của một thuật toán ước lượng trực tuyến (online estimation) với một thuật toán tối ưu.

Lý thuyết điều khiển tối ưu này sẽ được thực hiện ở trang www.dieukhien.net trong thời gian tới sau khi chúng tôi hoàn thành nguồn tài liệu cho môn cơ sở lý thuyết điều khiển. Để tiếp cận tới các thuật toán điều khiển nâng cao (như tối ưu, thích nghi... ) các bạn cần có kiến thức cơ bản về lý thuyết điều khiển và cơ sở toán học.

H.A.